Ejemplos ?
Está definición ha de ser abandonada en ZF y demás sistemas axiomáticos relacionados, puesto que dichas clases de equivalencia son demasiado grandes para formar un conjunto.
Después, la organización de conocimientos elementales produjo los sistemas axiomáticos (teorías), permitiendo el descubrimiento de conceptos estructurales que en la actualidad dominan esta ciencia (e.g.
En este nivel se realizan deducciones y demostraciones. Se entiende la naturaleza axiomática y se comprende las propiedades y se formalizan en sistemas axiomáticos.
Se trabaja la geometría sin necesidad de objetos geométricos concretos. Se conoce la existencia de diferentes sistemas axiomáticos y se puede analizar y comparar.
Teoría de la verdad, principalmente mantenida en las ciencias formales y en los sistemas axiomáticos, según la cual una proposición o enunciado es verdadero cuando es compatible con un conjunto coherente de proposiciones o enunciados, o deducible de los axiomas.
Se trata de un caso concreto de aplicación de las propiedades de consistencia (el conjunto de axiomas no lleva lógicamente a una contradicción) y completud (toda proposición o teorema del sistema es deducible de sus axiomas), que exhiben paradigmáticamente los sistemas axiomáticos.
El primer teorema de la incompletitud de Gödel muestra que muchos sistemas axiomáticos de interés matemático tendrán sentencias indecidibles.
Este tipo de resultados, conocidos como teorema de incompletitud de Gödel, implica que los sistemas axiomáticos de primer orden tienen severas limitaciones para fundamentar las matemáticas, y supusieron un duro golpe para el llamado programa de Hilbert para la fundamentación de las matemáticas.
La contundente respuesta negativa la dio Kurt Gödel, cuando anunció, en el histórico Congreso de Königsberg de septiembre de 1930, su famoso primer teorema de la incompletitud: los sistemas axiomáticos usuales son incompletos, en el sentido de que no pueden probar cada verdad que puede expresarse en su lenguaje.
Pero von Neumann, que había participado en el congreso, confirmó su fama de pensador instantáneo y, en menos de un mes, estuvo en disposición de comunicarle a Gödel una interesante consecuencia de su teorema: los sistemas axiomáticos usuales son incapaces de demostrar su propia consistencia.
En algunos casos el lenguaje usado por Hilbert se sigue considerando un tanto "negociable", en cuanto al significado real de la formulación del problema (en ausencia, repetimos, de fundamentos axiomáticos, basados en matemática pura, empezando con el propio trabajo de Hilbert sobre geometría euclidiana, pasando por el Principia Mathematica, y terminando con el grupo Bourbaki y el "terrorismo intelectual" para terminar el trabajo).
Trata con competencia temas como la probabilidad, el indeterminismo, las lógicas no clásicas, los métodos axiomáticos y los fundamentos de las matemáticas.